ブラック・ショールズオプション価格モデル

ブラック・ショールズモデルはオプション価格の基礎です。1973年にFischer BlackとMyron Scholesによって開発され、後にノーベル経済学賞を受賞しました。

🔥 Vibe Prompt

「Pythonでブラック・ショールズモデルを実装し、ヨーロピアンCallとPutオプションの理論価格を計算。入力パラメータ：株価、行使価格、満期までの時間、無リスク金利、ボラティリティ。本質的価値と時間的価値も計算。」

公式

$$C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$$ $$P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1)$$

$$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$$ $$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

Python実装

import math
from scipy.stats import norm

def black_scholes(S, K, T, r, sigma, option_type='call'):
    d1 = (math.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)
    if option_type == 'call':
        price = S * norm.cdf(d1) - K * math.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    else:
        price = K * math.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)
    return price

S, K, T, r, sigma = 100, 105, 0.5, 0.05, 0.2
print(f"Call価格: ${black_scholes(S, K, T, r, sigma, 'call'):.2f}")
print(f"Put価格: ${black_scholes(S, K, T, r, sigma, 'put'):.2f}")

実践練習

💡 Vibe Coding 練習：AIに「オプション価格計算機」を作成してもらいましょう：

株価、行使価格、満期、金利、ボラティリティを入力

CallとPut価格を計算

本質的価値と時間的価値を表示

株価vsオプション価格の曲線をプロット

オプション価格の可視化

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

stock_prices = np.linspace(50, 150, 100)
prices = [black_scholes(S, 100, 0.5, 0.05, 0.2, 'call') for S in stock_prices]
plt.plot(stock_prices, prices)
plt.title('コールオプション価格 vs 株価')
plt.xlabel('株価')
plt.ylabel('オプション価格')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

感度分析

ボラティリティの影響

vols = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5]
S, K, T, r = 100, 100, 0.5, 0.05
for sigma in vols:
    call = black_scholes(S, K, T, r, sigma, 'call')
    put = black_scholes(S, K, T, r, sigma, 'put')
    print(f'ボラティリティ {sigma:.0%}: コール ${call:.2f}, プット ${put:.2f}')

時間減衰

満期が近づくと時間的価値が減少
最終30日でシータが加速
ATMオプションが最も高い時間的価値を持つ

実用的応用

実際のユースケース

ポートフォリオ保険: OTMプットを購入して暴落を防ぐ
収入生成: 保有株に対してカバードコールを売る
ボラティリティ取引: ボラティリティ予想に基づく取引
決算プレイ: 決算発表前後のオプション取引

Greeksの実践

| Greek | トレーダーの焦点 | |-------|----------------| | Delta | 方向性リスク、ヘッジ比率 | | Gamma | 凸性、大きな変動のリスク | | Theta | 時間減衰、オプション売り手の味方 | | Vega | ボラティリティリスク、決算プレイ | | Rho | 金利リスク、長期オプション |

ブラック・ショールズ オプション価格モデル